Γράφει ο Βαγγέλης Κοντοσάκος
Αν ρίξουμε μια ματιά στην ανθρώπινη Ιστορία θα διαπιστώσουμε ότι στις ευτυχέστερες στιγμές του ανθρωπίνου πνεύματος και της κοινωνικής εξέλιξης, τα Μαθηματικά κατείχαν πάντοτε πρωτεύοντα ρόλο. Ο 5ος π. Χ. αιώνας (χρυσούς αιών) καθώς και ο 17ος μ. Χ. αιώνας, (λίγο μετά την Αναγέννηση) αποτελούν τις πλέον χαρακτηριστικές περιπτώσεις αυτής της συγκυρίας. (Μια μικρή «διαφορά φάσεως» 50 - 100 ετών είναι ασήμαντη αν συγκριθεί με τον χρόνο ζωής των ανθρωπίνων κοινωνιών) Όμως από την εποχή του πρωτόγονου ανθρώπου μέχρι την σημερινή εποχή του «θριάμβου» (τουλάχιστον έτσι νομίζουμε) της επιστήμης και της τεχνολογίας υπάρχει ένας δρόμος ανηφορικός και τραχύς, διάσπαρτος με επιτεύγματα αλλά και οπισθοδρομήσεις. Θα προσπαθήσουμε να τον διατρέξουμε γρήγορα.
Σήμερα πολλοί ιστορικοί της Μαθηματικής Επιστήμης δέχονται ότι στο ανθρώπινο μυαλό υπάρχουν (κατά κάποιον τρόπο είναι καταγεγραμμένες) οι παρακάτω δυο Μαθηματικές έννοιες.
Α. Η αναλογία, δηλαδή η ισότητα των λόγων που δημιουργεί την έννοια της ομοιότητας.
Η μεγέθυνση ή η σμίκρυνση ενός φωτοαντιγράφου σε σχέση με το πρωτότυπο ΑΒΓΔ 
καθώς και η φωτογραφία αποτελούν δυο από τις πιο συνηθισμένες περιπτώσεις ομοιότητας.
Αν δείξουμε σε ένα βρέφος τη φωτογραφία της μητέρας του, την αναγνωρίζει και αλλάζει έκφραση. Ίσως αυτό να αποτελεί μια επιβεβαίωση της άποψης που υποστηρίζει την a priori καταγραφή της ομοιότητας στον ανθρώπινο εγκέφαλο.
Β. Η αντιστοιχία «1 – 1» (Διαβάζεται ένα προς ένα)
Για την αντιστοιχία 1-1 μπορούμε με απλά λόγια να πούμε ότι στον παρακάτω πίνακα, κάθε κεφαλαίο Β αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνον ένα μικρό β
Έτσι αν δεν μας ενδιαφέρει ο ακριβής αριθμός τους ή αν δεν γνωρίζουμε να μετράμε - όπως συμβαίνει στο μικρό παιδί ή όπως συνέβαινε στον πρωτόγονο άνθρωπο - λέμε:
“Τα κεφαλαία Β, είναι τόσα, όσα τα μικρά β”.
Αυτή η αντιστοίχηση επέτρεπε στους πρωτόγονους να περιγράφουν το πλήθος π.χ. των θηραμάτων, το πλήθος των μελών της............
όποιας «οικογένειάς τους» κ.λ.π..
Για την αντιστοίχηση μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν τα δάχτυλά τους ή γραμμές στο έδαφος ή ένα πλήθος από μικρές πέτρες τοποθετημένες σε ευθεία γραμμή. [1]
Υπάρχουν όμως και ιστορικοί που πιστεύουν ότι η αρίθμηση ή η μέτρηση προηγήθηκε της αντιστοίχησης 1-1.
Υποστηρίζουν την άποψη, ότι στις πρωτόγονες θρησκευτικές τους τελετές, συχνά καλούσαν τους συμμετέχοντες στη σκηνή με συγκεκριμένη σειρά. (κάτι σαν το σημερινό πρωτόκολλο) Ίσως λοιπόν να επινόησαν την αρίθμηση για να λύσουν αυτό το πρόβλημα.
Όσο αμφίβολη κι’ αν είναι η παραπάνω άποψη εξηγεί - σε κάποιο βαθμό - τη σύνδεση των αριθμών με μεταφυσικές δοξασίες που υπάρχουν σε πολλούς πολιτισμούς ανά την υφήλιο, καθώς και την εμμονή των ανθρώπων σε ορισμένους αριθμούς που θεωρούσαν ή θεωρούν ιερούς ή θέλουν να τους εξορκίσουν. Π.χ. ο αριθμός 7, (επτά θαύματα, επτά σοφοί, εβδομάδα, κ.λ.π.) ο αριθμός 3 που τον συναντάμε συχνά στη Λαογραφία, (τρία πουλάκια κάθονταν … , τρεις αδερφούλες ήμασταν … κλπ ) καθώς και ο αριθμός 13 που πολλοί τον αντιμετωπίζουν με σχεδόν μεταφυσική επιφύλαξη αν όχι και φόβο. (Τρίτη και 13)
Ανεξάρτητα από τις παραπάνω εκδοχές, εκείνο για το οποίο είμαστε βέβαιοι είναι ότι από την στιγμή που ο άνθρωπος απέκτησε την δυνατότητα μέτρησης και αρίθμησης χρειάστηκε τρόπους παράστασης και συμβολισμού των αριθμών, αλλά και των πράξεων μεταξύ των αριθμών.
Υπήρξαν πολλά συστήματα αρίθμησης αλλά φαίνεται πως τελικά επεκράτησε το δεκαδικό σύστημα, μάλλον λόγω των δέκα δακτύλων, άποψη που ασπάζεται και ο Αριστοτέλης που γράφει ότι η διάδοση του δεκαδικού συστήματος είναι αποτέλεσμα μιας ανατομικής σύμπτωσης.
Η χρήση των Αραβικών ψηφίων κατά τον 10ο μ.Χ. και η ευρεία διάδοσή τους κατά τον 12ο αιώνα διευκόλυναν πολύ τις αριθμητικές πράξεις. Στην πραγματικότητα το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε σήμερα, καθώς και η επινόηση του μηδενός, αποτελούν επίτευγμα των Ινδών Μαθηματικών του 5ου μ.Χ. αιώνα. Οι Άραβες το βελτίωσαν και το διέδωσαν στη Δύση γιατί εξυπηρετούσε περισσότερο τις εμπορικές συναλλαγές.
Όσον αφορά τη Γεωμετρία φαίνεται ότι οι πρώτοι λαοί που εξεδήλωσαν κάποιο ενδιαφέρον ήταν οι λαοί της Μεσοποταμίας Σουμέριοι και Βαβυλώνιοι γύρω στο 4000 π. Χ. Βέβαια πρόκειται για υπολογιστική και όχι αποδεικτική Γεωμετρία.
Στη συνέχεια οι Αιγύπτιοι κληρονομούν αλλά και βελτιώνουν σημαντικά τις προηγούμενες Γεωμετρικές γνώσεις πάντα όμως σε πρακτικό επίπεδο. Οι ογκώδεις πυραμίδες τους αποτελούν αξιοθαύμαστα μηχανικά επιτεύγματα αλλά και αριστουργήματα Μαθηματικών επινοήσεων.
Η θεαματική όμως πορεία της Μαθηματικής Επιστήμης αρχίζει τον 6ο π. Χ. αιώνα.
Κυρίαρχη φυσιογνωμία είναι ο Θαλής ο Μιλήσιος. (περίπου 630 π.Χ. – 543 π. Χ.). Θεωρείται πρωτεργάτης της Επιστήμης και της Φιλοσοφίας γιατί πρώτος αυτός (εισάγοντας και απαιτώντας πλέον την απόδειξη) προσπάθησε να απελευθερώσει την ανθρώπινη σκέψη από την μυθοπλαστική φαντασία και να την οδηγήσει στην ορθολογική εξήγηση των φυσικών φαινομένων.
Σύμφωνα με την παράδοση υπολόγισε το ύψος των Πυραμίδων χρησιμοποιώντας ένα ραβδί ή κατ’ άλλους το μπόι του. (Τη στιγμή που το μήκος της σκιάς του ήταν ίσο με το ύψος του) Επίσης προέβλεψε την έκλειψη Ηλίου του έτους 585 π. Χ.
Η επόμενη μεγάλη προσωπικότητα είναι ο Πυθαγόρας ο Σάμιος.
Ο Πυθαγόρας πίστευε ότι τα Μαθηματικά είναι η οδός για την απελευθέρωση της ψυχής. Κατά την παράδοση οι Πυθαγόρειοι θορυβήθηκαν τόσο όταν διαπίστωσαν την ύπαρξη των άρρητων αριθμών,[2] ίσως γιατί θεώρησαν ότι αποκάλυψαν κάποιο θεϊκό μυστικό, ή ίσως γιατί κατέρρεε η θεωρία τους ότι τα πάντα μπορούν να εκφραστούν στα πλαίσια των ακεραίων, ώστε έπνιξαν τον πρωτεργάτη της ανακάλυψης Ίππαστο και συμφώνησαν μεταξύ τους να μην διαδώσουν την ανακάλυψη.
Στο μαθηματικό έργο του Πλάτωνα συμπεριλαμβάνονται μελέτες σχετικές με τις Πυθαγόρειες τριάδες , τα κανονικά πολύεδρα, το Δήλιο Πρόβλημα[3] καθώς και η Αναλυτική αποδεικτική μέθοδος. Την άποψή του για όσους δεν γνωρίζουν Γεωμετρία την αποδίδει η φράση του “Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μου την στέγην”.
Ο χρυσός αιώνας όμως των Μαθηματικών είναι ο 3ος π. Χ. αιώνας καθώς λαμπρύνεται με την παρουσία τριών από τους πιο μεγαλοφυείς Μαθηματικούς όλων των εποχών.
Του Ευκλείδη ,του Αρχιμήδη και του Απολλωνίου.
Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη είναι το έργο που έχει γνωρίσει τις περισσότερες εκδόσεις από κάθε άλλο έργο εκτός της Αγίας Γραφής. Ο Ευκλείδης θεμελίωσε αξιωματικά την Γεωμετρία σχεδόν με τον τρόπο που διδάσκεται μέχρι σήμερα.
Ο Αρχιμήδης (287-212 π. Χ.) θεωρείται ο σημαντικότερος Μαθηματικός της Αρχαιότητας, από ορισμένους μάλιστα και όλων των εποχών. Τα περίφημα παραβολικά του κάτοπτρα με τα οποία έκαιγε τα πλοία των Ρωμαίων αποτελούν την σημαντικότερη μέχρι τότε συμβολή της Μαθηματικής Επιστήμης σε στρατιωτικές επιχειρήσεις. Ασχολήθηκε με την μέτρηση του κύκλου και της σφαίρας (πρώτος αυτός υπολόγισε τον όγκο της) καθώς και με τον υπολογισμό εμβαδών που ήταν αδύνατο να υπολογιστούν μέχρι τότε.
Ο τρίτος επιφανής Μαθηματικός της Ελληνιστικής εποχής ήταν ο Απολλώνιος Ασχολήθηκε κυρίως με την Αστρονομία και τις Κωνικές Τομές. Σήμερα οι ιδιότητες των Κωνικών Τομών έχουν ένα πλήθος εφαρμογών στην Αστρονομία στις τροχιές τεχνητών δορυφόρων, στα τηλεσκόπια, στους προβολείς των αυτοκινήτων, στην Ιατρική μέσω των υπερήχων και αλλού.
Θα ήταν παράλειψη αν δεν αναφέραμε δυο ακόμη σπουδαία πνεύματα αυτής της εποχής.
Τον Ερατοσθένη τον Κυρηναίο που πρώτος υπολόγισε με αξιοθαύμαστη προσέγγιση το μήκος ενός μεσημβρινού της Γης και τον Αρίσταρχο τον Σάμιο που πρώτος συνέλαβε την ιδέα ενός Ηλιοκεντρικού Συστήματος.
Δυστυχώς η ιδέα αυτή δεν αξιοποιήθηκε για 2000 χρόνια γιατί μια γεωκεντρική αντίληψη περί Σύμπαντος ικανοποιεί θαυμάσια την εγωκεντρική ανθρώπινη φύση.
Θα πρέπει να αναφέρουμε τέλος, ότι η πρόοδος των Μαθηματικών αυτής της εποχής επηρέασε και επηρεάζει ακόμη και σήμερα όχι μόνο τις επιστήμες αλλά και την τέχνη.
Η λεγόμενη “Χρυσή τομή” θεωρείται από αισθητική άποψη η αρμονικότερη σχέση μεταξύ δυο ευθυγράμμων τμημάτων. Την επιρροή της την διαπιστώνουμε στον Παρθενώνα , στο Θέατρο της Επιδαύρου, στα έργα του Ντα Βίντσι, στα αρχιτεκτονικά δημιουργήματα του Λε Κορμπυζιέ αλλά και σε σουρεαλιστές ζωγράφους όπως ο Νταλί.
Δυστυχώς η μεγάλη παραγωγή πνευματικού έργου που παρατηρήθηκε από τα χρόνια της κλασσικής εποχής μέχρι και τους ύστε
ρους Ρωμαϊκούς χρόνους δεν είχε ανάλογη συνέχεια κατά τους επόμενους αιώνες. Η τελευταία ίσως λαμπρή εκπρόσωπος του φωτεινού παρελθόντος είναι η Υπατία. Αποτελεί μοναδικό παράδειγμα γυναίκας Μαθηματικού και φιλοσόφου στο Πάνθεο των Αρχαίων Ελλήνων διανοητών. Οι πεποιθήσεις της στάθηκαν η αιτία να βρει μαρτυρικό θάνατο από ένα πλήθος φανατισμένων Χριστιανών το 415 μ. Χ.
Ήδη βρισκόμαστε χρονικά σε μια περίοδο που κυριαρχεί η μισαλλοδοξία και ο σκοταδισμός. Από τα τέλη του 4ου μ. Χ. παραδόθηκαν στην πυρά πλήθος παπύρινοι ρόλοι με αποτέλεσμα να χαθούν για πάντα ανεκτίμητα έργα - κυρίως των θετικών Επιστημών. Η επιστήμη για ολόκληρους αιώνες θα αντιμετωπίζεται ως κάτι ανάμεσα στην αίρεση και τον σατανισμό.
Οι πολιτικές ,στρατιωτικές, και κοινωνικές εξελίξεις αλλά και οι βίαιες μετακινήσεις πληθυσμών καθώς και το ιδεολογικό υπόβαθρο φιλοσοφικών και θρησκευτικών κινημάτων, δημιουργούν συνθήκες που δεν διευκολύνουν την έρευνα ,την ελεύθερη σκέψη, την παραγωγή πνευματικού έργου και τη διάδοση των ιδεών.
Ενώ μεταφράζεται στα Αραβικά σχεδόν το σύνολο του έργου των Αρχαίων Ελλήνων - όσο έχει διασωθεί βέβαια - στο Πανεπιστήμιο των Παρισίων απαγορεύεται η διδασκαλία των απόψεων του Αριστοτέλη με απόφαση του Πάπα.[4]
Η ελευθερία της σκέψης περνάει μια από τις πιο άχαρες περιόδους της…
Τον 16ο αιώνα μια ομάδα Ιταλών Μαθηματικών (Scipione dal Ferro, Niccolo Fontana - γνωστός και ωςTartaglia - και Lodovico Ferrari) επέτυχε να λύσει τις πολυωνυμικές εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού. [5] Η αυτή ομάδα είχε ίσως την μεγαλύτερη συνεισφορά στην Άλγεβρα από την εποχή του Διόφαντου.
Αρχές του 17ου αιώνα επινοούνται, οι λογάριθμοι που έχουν τεράστιες πρακτικές και θεωρητικές εφαρμογές.
Ήδη βρισκόμαστε στην ανατολή ενός νέου Χρυσού αιώνα των Μαθηματικών. Φυσιογνωμίες όπως o Viete ο Fermat, o Pascal , o Descartes, συνέβαλαν να χειραφετηθεί η Επιστήμη των Μαθηματικών από την Αρχαία Ελληνική σκέψη και να ακολουθήσει μια νέα λαμπρή πορεία, με δυο βασικούς άξονες.
1) Την δημιουργία της συμβολικής Άλγεβρας και την μετάβαση από τον Γεωμετρικό στον Αλγεβρικό τρόπο σκέψης.
2) Την δημιουργία του Απειροστικού Λογισμού.
Η δόξα για την δημιουργία αυτού του κλάδου ανήκει κυρίως σε δυο μαθηματικές διάνοιες. Τον Newton (1643-1727) και τον Leibniz (1646-1716). (Δυστυχώς η διαμάχη μεταξύ των δυο αυτών προσωπικοτήτων για την πατρότητα του Απειροστικού Λογισμού, επιβεβαιώνει την άποψη ότι ούτε τα μεγάλα πνεύματα είναι απαλλαγμένα από την μικροπρέπεια…)
Στα χρόνια που ακολουθούν ο Απειροστικός Λογισμός με την συμβολή κορυφαίων Μαθηματικών όπως ο Gauss o Cauchy o Riemann και άλλοι, αποκτά την οριστική του μορφή και γίνεται το απόλυτο εργαλείο για την μελέτη και ερμηνεία του φυσικού κόσμου και όχι μόνον. Ταυτόχρονα τα Μαθηματικά επεκτείνονται και δημιουργούνται νέες θεωρίες με τεράστιες εφαρμογές σχεδόν σε όλους τους τομείς του ανθρώπινου ενδιαφέροντος. Κλάδοι όπως η Στατιστική, η Θεωρία Πιθανοτήτων, και άλλοι αναπτύσσονται με γοργούς ρυθμούς και βοηθούν την έρευνα με τρόπο που κανένας στο παρελθόν δεν μπορούσε να φανταστεί.
Η εκρηκτική ανάπτυξη της τεχνολογίας του 20ου αιώνα δεν θα ήταν δυνατή χωρίς την ανάπτυξη των Μαθηματικών κατά τον 18ο και 19ο αιώνα.
Προβλήματα όπως η εξεύρεση του συντομότερου ή οικονομικότερου τρόπου μεταφοράς αγαθών, η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε επενδυτικά σχέδια για την επίτευξη της μεγαλύτερης απόδοσης ή για την ελαχιστοποίηση του κινδύνου, η καλλίτερη δυνατή κατανομή πόρων (π.χ. του budget για τη διαφήμιση ενός προϊόντος) θα ήταν πολύ δύσκολο αν όχι αδύνατο να αντιμετωπιστούν χωρίς την συνδρομή των Μαθηματικών.
Και ενδεχομένως η πληροφορική, η επιχειρησιακή έρευνα και το management να μην υπήρχαν όχι ως επιστημονικοί κλάδοι αλλά ούτε ως λέξεις . . .
Συχνά αναφέρεται ως χαρακτηριστικό παράδειγμα γενικού στόχου που οφείλει να θέτει ένας ηγέτης, η φράση που είχε πει το 1961 ο J. F. Kennedy. [6]
«Πιστεύω ότι ως έθνος πρέπει να δεσμευτούμε ώστε πριν τελειώσει η δεκαετία, να επιτύχουμε τον στόχο να προσεδαφίσουμε έναν άνθρωπο στη σελήνη και να τον γυρίσουμε με ασφάλεια στη γη».
Τον Ιούλιο του 1969 ο στόχος είχε πραγματοποιηθεί.
Για να συμβεί αυτό όμως έπρεπε:
i. Να επιτευχθεί ο μέγιστος βαθμός συνεργασίας μεταξύ τριών κέντρων της N.A.S.A. που απέχουν μεταξύ τους εκατοντάδες χιλιόμετρα. ( Huntsville, Houston, Canaveral)
ii. Να ανατεθούν οι επί μέρους εργασίες σε 20 περίπου βιομηχανίες που θα κατασκεύαζαν τμήματα του πυραύλου
iii. Κάθε βιομηχανία έπρεπε να κατανείμει τα τμήματα σε 40 έως 50 μικρότερους εργολήπτες
iv. Αυτοί οι εργολήπτες έπρεπε να τα αναλύσουν σε 300000 έως 400000 κομμάτια που το καθένα θα ήταν δουλειά ενός ατόμου.
v. Τα εξαρτήματα αυτά έπρεπε να είναι έτοιμα συγκεκριμένη χρονική στιγμή και να συνεργάζονται όταν συναρμολογηθούν.
vi. Να μην τεθούν σε κίνδυνο ούτε ανθρώπινες ζωές, ούτε προφανώς το γόητρο των Η.Π.Α.
vii. Να επιτευχθούν όλα τα παραπάνω με το ελάχιστο δυνατό κόστος .
Πιστεύει κανένας ότι θα ήταν δυνατόν να υλοποιηθεί ο στόχος που έθεσε ο J. F. Kennedy χωρίς την συμβολή των Μαθηματικών;
* * * * * * * * *
[1] Μου έχουν αφηγηθεί την περίπτωση ενός βοσκού που κάθε πρωί, για κάθε πρόβατο που έβγαινε από τη στάνη, αυτός τοποθετούσε ένα πετραδάκι σε ένα δοχείο. Το βράδυ για κάθε πρόβατο που έμπαινε στη στάνη, αυτός έβγαζε ένα πετραδάκι από το δοχείο.
Ο βοσκός δεν ήξερε να μετρά. Άρα δεν ήξερε πόσα πρόβατα είχε. Ήξερε όμως αν όσα πρόβατα βγήκαν το πρωί, τόσα επέστρεψαν το βράδυ!
[2] Άρρητος λέγεται κάθε αριθμός που δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα.
[3] Πρόκειται για ένα από τα γνωστά ως «άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας».
[4] Για πρώτη φορά η διδασκαλία της φιλοσοφίας του Αριστοτέλη στο συγκεκριμένο πανεπιστήμιο απαγορεύτηκε με διάταγμα το 1210 αλλά το αποτέλεσμα – ως συνήθως – ήταν αντίθετο της παπικής επιθυμίας και έτσι το 1231 ο πάπας Γρηγόριος ο Θ’ επανέλαβε την απαγόρευση αλλά πάλι χωρίς ιδιαίτερη επιτυχία. Οι απαγορεύσεις ενίσχυαν το ενδιαφέρον των μελετητών. Έτσι από τα μέσα του 13ου αιώνα και εντεύθεν η ισχύς των διαταγμάτων ατονεί ενώ ταυτόχρονα γίνεται προσπάθεια «συμφιλίωσης» και «συγκερασμού» της φιλοσοφίας και της θρησκείας με κύριο εκφραστή αυτής της τάσης τον Θωμά Ακινάτη. (1225 – 1274)
[5] Περί το 1830 ο νεαρός Γάλλος Evariste Galois (1811 – 1832) θα γράψει μια σημαντική αλλά αρκετά δυσνόητη εργασία. Εκεί αποδεικνύει ότι είναι αδύνατον να λυθεί η γενικής μορφής πολυωνυμική εξίσωση 5ου και ανωτέρου βαθμού. Το 1832 ο Galois σκοτώνεται σε μονομαχία. Η προσφορά του στη μαθηματική επιστήμη θα αναγνωριστεί μετά θάνατον.
[6] «I believe that this nation should commit itself to achieving the goal, before this decade is out, of landing a man on the Moon and returning him safely to the Earth»
Ευάγγελος Κοντοσάκος
Μαθηματικός